
\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Tue Jan 02 13:42:18 2001}
%TCIDATA{LastRevised=Thu Mar 01 11:28:13 2001}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Akibat}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Contoh}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposisi}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\title{FUNGSI UNIVALEN}
\author{Endang Cahya}
\maketitle

\subsection{Fungsi Univalen}

\bigskip

{\LARGE Fungsi kompleks bernilai tunggal }$f${\LARGE \ disebut univalen pada
suatu domain }$\Omega ${\LARGE \ jika untuk sembarang }$z_{1}${\LARGE dan }$%
z_{2}${\LARGE \ di }$\Omega ,${\LARGE \ dengan }$z_{1}\neq z_{2}${\LARGE \
mengakibatkan }$f(z_{1})\neq f(z_{2}).${\LARGE \ Fungsi }$f${\LARGE \
disebut univalen lokal di }$z_{0}\in \Omega ${\LARGE \ jika }$f${\LARGE \
univalen pada suatu lingkungan dari }$z_{0.}$

\begin{example}
{\LARGE 1. Fungsi Koebe 1 }
\begin{eqnarray*}
K(z) &=&\frac{z}{\left( 1-z\right) ^{2}}\text{ } \\
&=&z+2z^{2}+3z^{3}+4z^{4}+...\text{ pada disk satuan }D:=\left| z\right| <1.
\end{eqnarray*}
\end{example}

\begin{example}
{\LARGE 2}. {\LARGE Fungsi Koebe 2 }
\begin{equation*}
K(z)=\frac{z}{1-z},\text{ pada disk satuan }D
\end{equation*}
\end{example}

\begin{proposition}
{\LARGE 3. Misalkan }$f${\LARGE \ analitik pada suatu domain }$\Omega $%
{\LARGE \ dan }$z_{0}\in \Omega .${\LARGE \ Jika }$f^{\prime }(z_{0}${\LARGE %
\bigskip )}$\neq 0${\LARGE \ maka }$f${\LARGE \ univalen lokal sekitar }$%
z_{0}.$
\end{proposition}

\begin{description}
\item 
\begin{proof}
{\LARGE Karena }$f${\LARGE \ analitik pada }$\Omega ${\LARGE \ dan }$%
z_{0}\in \Omega ${\LARGE \ maka }$f${\LARGE \ dapat diekspansi dalam bentuk
deret pangkat sekitar }$z_{0}.${\LARGE \ Tanpa menghilangkan keumuman,
dengan suatu transformasi maka dapat diasumsikan }$z_{0}=0${\LARGE \ dan }$%
f(0)=0,${\LARGE \ sehingga represenrasi deret pangkat \ }$f${\LARGE \
sekitar }$0${\LARGE \ dapat ditulis sebagai }
\begin{equation*}
f(z)=a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+...
\end{equation*}
{\LARGE dengan }$a_{1}=f^{\prime }(0)\neq 0.${\LARGE \ Selanjutnya misalkan }%
$z${\LARGE \ dan }$w${\LARGE \ dua buah titik berbeda sekitar }$0,${\LARGE \
dalam hal ini }$z\neq w.${\LARGE \ Tulis }
\begin{equation*}
\frac{f(z)-f(w)}{z-w}=a_{1}+a_{2}\frac{z^{2}-w^{2}}{z-w}+a_{3}\frac{%
z^{3}-w^{3}}{z-w}+...
\end{equation*}
{\LARGE Estimasi, untuk }$\left| z\right| ,\left| w\right| \leq r,${\LARGE \
maka diperoleh }
\begin{equation*}
\left| \frac{z^{n}-w^{n}}{z-w}\right| =\left|
\sum_{k=0}^{n-1}z^{k}w^{n-k-1}\right| \leq nr^{n-1}.
\end{equation*}
{\LARGE Andaikan \ }$f(z)=f(w)${\LARGE \ naka }$\left| a_{1}\right| \leq
\sum_{n=2}^{\infty }\left| a_{n}\right| nr^{n-1}.${\LARGE \ Untuk }$r$%
{\LARGE \ cukup kecil maka sisi kanan cukup dekat ke }$0${\LARGE , akibatnya 
}$\left| a_{1}\right| =0=\left| f^{\prime }(0)\right| .${\LARGE \ Ini
bertentangan dengan yang diketahui, jadi haruslah \ }$f(z)\neq f(w).$
\end{proof}
\end{description}

\bigskip 

\bigskip 

{\LARGE Selanjutnya akan dipelajari keluarga fungsi analitik yang univalen
pada disk satuan }$D${\LARGE \ yang dinormalisasi oleh syarat }$f(0)=0$%
{\LARGE \ dan }$f^{\prime }(0)=1.${\LARGE \ Misalkan keluarga fungsi ini
dinotasikan oleh }$S.${\LARGE \ Maka untuk sembarang }$f\in S${\LARGE \
memiliki representasi deret Taylor }
\begin{equation*}
f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+a_{5}z^{5}+...\text{ \ \ \ \ \ }%
\left| z\right| <1.
\end{equation*}

\bigskip 

{\LARGE Contoh dari fungsi ini, lihat contoh 1 dan 2. Perlu dicatat bahwa
jumlah dua fungsi di dalam }$S${\LARGE \ tidak perlu univalen.}

\begin{example}
{\LARGE 4}. {\LARGE Misalkan }$f(z)=\frac{z}{1-z}${\LARGE \ dan }$g(z)=\frac{%
z}{1+iz}.${\LARGE \ Dapat diperiksa }$f${\LARGE \ dan }$g${\LARGE \ di }$S.$%
{\LARGE \ Tetapi }$\left( f+g\right) ^{\prime }(\frac{1}{2}\left( 1+i\right)
)=0${\LARGE \ dan }$\frac{1}{2}\left( 1+i\right) \in D.${\LARGE \ Jadi }$f+g$%
{\LARGE \ tidak univalen.}
\end{example}

\bigskip

{\LARGE Beberapa sifat Transformasi yang mengawetkan keluarga fungsi }$S.$

\begin{itemize}
\item  {\LARGE Conjugation : \ Jika }$f\in S${\LARGE \ \ \ dan \ }$g(z)=%
\overline{f(\overline{z})}=z+\overline{a_{2}}z^{2}+\overline{a_{3}}z^{3}+...$%
{\LARGE \ maka }$g\in S.$

\item  {\LARGE Rotation \ \ \ \ \ \ : \ Jika }$f\in S${\LARGE \ \ \ dan \ }$%
g(z)=e^{-i\theta }f(e^{i\theta }z)${\LARGE \ maka }$g\in S.$

\item  {\LARGE Dilation \ \ \ \ \ \ \ : \ \ Jika }$f\in S${\LARGE \ \ \ dan
\ }$g(z)=r^{-1}f(rz)${\LARGE \ dimana }$0<r<1$ \ {\LARGE maka }$g\in S.$

\item  {\LARGE Disk Automorphism \ : Jika }$f\in S${\LARGE \ \ \ dan \ }
\begin{equation*}
g(z)=\frac{f\left( \frac{z+\alpha }{1+\overline{\alpha }z}\right) -f(\alpha )%
}{\left( 1-\left| \alpha \right| ^{2}\right) f^{\prime }(\alpha )}\text{ , }%
\left| \alpha \right| <1\text{\ \ maka \ }g\in S
\end{equation*}

\item  {\LARGE Range Transformation : Jika }$f\in S${\LARGE \ dan }$\varphi $%
{\LARGE \ fungsi analitik univalen pada }$\ R_{f}${\LARGE \ dengan }$\varphi
(0)=0${\LARGE \ dan }$\varphi ^{\prime }(0)=1${\LARGE \ maka \ \ }
\begin{equation*}
g=\varphi \circ f\in S.
\end{equation*}

\item  {\LARGE Omitted-Value Transformation \ : Jika }$f\in S${\LARGE \ \ \
dan \ }$f(z)\neq w${\LARGE \ maka }$g=\frac{wf}{w-f}\in S.$

\item  {\LARGE Square Root Transformation \ : \ Jika }$f\in S${\LARGE \ \ \
dan \ }$g(z)=\sqrt{f(z^{2})}${\LARGE \ maka }$g\in S.$
\end{itemize}

{\LARGE \bigskip }

{\LARGE Sifat yang terakhir dapat diperluas untuk }$g(z)=\sqrt[m]{f(z^{m})}.$

\bigskip 

\bigskip 

\bigskip \bigskip 

{\Huge Selanjutnya perhatikan kelas fungsi }$\sum ${\Huge \ dari
fungsi-fungsi }$\ \ g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+b_{3}z^{-3}+...$%
{\Huge \ \ \ \ \ yang analitik dan univalen pada domain }$\triangle
:=\left\{ z:\left| z\right| >1\right\} ${\Huge . \ Sembarang unsur di }$\sum 
${\Huge \ memetakan }$\triangle ${\Huge \ kepada komplemen dari suatu
himpunan terhubung yang kompak (}$E${\Huge ). Dari sini, ada dua kemungkinan
yang ditinjau mengenai peta dari }$g\in \sum ,${\Huge \ yaitu (1) }$E${\Huge %
\ memuat nol dan (2) }$\ E${\Huge \ tidak memuat nol. Untuk }$g\in \sum $%
{\Huge \ yang memetakan }$\triangle ${\Huge \ kepada }$E^{c}${\Huge \ dimana 
}$0\in E,${\Huge \ selanjutnya dikelompokkan dalam kelas }$\sum^{\prime }.$%
{\Huge \ Jadi untuk sembarang }$g\in \sum^{\prime }${\Huge \ maka }$g${\Huge %
\ tidak pernah nol. Kelas }$\sum^{\prime }${\Huge \ diawetkan dibawah Square
root transformation, dalam hal ini \ }$G(z)=\sqrt{g(z^{2})}=z\left\{
1+b_{0}z^{-2}+b_{1}z^{-4}+...\right\} ^{\frac{1}{2}}.${\Huge \bigskip }

\subsection{\bigskip Inversi}

{\Huge Untuk masing-masing }$f\in S,${\Huge \ fungsi \ }$g(z)=\left\{ f(%
\frac{1}{z})\right\} ^{-1}=z-a_{2}+\left( a_{2}^{2}-a_{3}\right) z^{-1}+...$%
{\Huge \ termasuk di }$\sum^{\prime }.${\Huge \ Transformasi ini disebut
Inversi. Transformasi ini menetapkan korespondensi satu ke satu antara }$S$%
{\Huge \ dan }$\sum^{\prime }.$

{\Huge \bigskip }

\bigskip 

\bigskip 

\subsection{The Area Theorem}

\begin{theorem}
\bigskip {\Huge 5. }{\huge Jika }$g\in \sum ,${\huge \ maka }$%
\sum_{n=1}^{\infty }n\left| b_{n}\right| ^{2}\leq 1.$
\end{theorem}

\begin{proof}
{\Huge Misalkan }$E${\Huge \ himpunan kompak, dan }$g\left( \triangle
\right) =E^{c}.${\Huge \ Misalkan pula }$C_{r}${\Huge \ peta }$g${\Huge \
atas }$\left| z\right| =r${\Huge , dengan }$r>1.${\Huge \ Karena }$g${\Huge %
\ univalen, maka }$C_{r}${\Huge \ merupakan kurva tutup sederhana yang
menutupi suatu domain }$E_{r}\supset E.${\Huge \ Dengan teorema Green, luas
daerah }$E_{r}${\Huge \ adalah }
\begin{eqnarray*}
A_{r} &=&\frac{1}{2i}\int_{C_{r}}\overline{w}dw \\
&=&\frac{1}{2i}\int_{\left| z\right| =r}\overline{g(z)}g^{\prime }(z)dz \\
&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\left\{ re^{-i\theta }+\sum_{n=0}^{\infty }%
\overline{b_{n}}r^{-n}e^{in\theta }\right\} \left\{ 1-\sum_{v=1}^{\infty
}vb_{v}r^{-v-1}e^{-i(v+1)\theta }\right\} re^{i\theta }d\theta  \\
&=&\pi \left\{ r^{2}-\sum_{n=1}^{\infty }n\left| b_{n}\right|
^{2}r^{-2n}\right\} ,\text{ \ \ }r>1.
\end{eqnarray*}
{\Huge Untuk }$r\rightarrow 1,A_{r}\rightarrow \pi \left\{
1-\sum_{n=1}^{\infty }n\left| b_{n}\right| ^{2}\right\} ${\Huge \ dan ini
merupakan ukuran luar }$E,${\Huge \ karena itu nilainya harus tidak negatif.}
\end{proof}

\bigskip {\Huge Akibat langsung dari teorema di atas,}
\begin{equation*}
\left| b_{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}},n=1,2,3,...
\end{equation*}
{\Huge Ketaksamaan ini kurang tepat untuk \ }$n\geq 2,${\Huge \ karena
fungsi }$g(z)=z+n^{\frac{-1}{2}}z^{-n}${\Huge \ tidak univalen. Ini terlihat
dari }$g^{\prime }(z)=1-n^{\frac{-1}{2}}z^{-n-1}${\Huge \ bisa nol pada }$%
\triangle ${\Huge \ jika }$n\geq 2.${\Huge \ Akan tetapi untuk }$n=1${\Huge %
, }$\left| b_{1}\right| \leq 1${\Huge \ merupakan estimasi yang cukup baik.}

{\Huge \bigskip }

{\Huge Bukti Bieberbach (1916) mengenai modulus koefisien kedua dari
sembarang fungsi di }$S.$

\begin{theorem}
{\Huge 6. Jika }$f\in S${\Huge \ maka }$\left| a_{2}\right| \leq 2,${\Huge \
dengan kesamaan dipenuhi jika dan hanya jika }$f${\Huge \ hasil sebuah
rotasi dari fungsi Koebe.}
\end{theorem}

\begin{proof}
{\Huge Misalkan }$f\in S.${\Huge \ Buat inversi terhadap fungsi hasil
transformasi akar kuadrat dari }$f,${\Huge \ maka diperoleh }
\begin{eqnarray*}
g(z) &=&\left\{ f\left( \frac{1}{z^{2}}\right) \right\} ^{-\frac{1}{2}} \\
&=&z-\frac{a_{2}}{2}z^{-1}+\left( \frac{3}{8}a_{2}^{2}-\frac{1}{2}%
a_{3}\right) z^{-3}+\left( \frac{-1}{2}a_{4}+\frac{3}{4}a_{2}a_{3}-\frac{6}{%
16}a_{2}^{3}\right) z^{-5}+...
\end{eqnarray*}
{\Huge dengan }$g\in \sum .${\Huge \ Karena untuk sembarang }$h\in \sum ,$%
{\Huge \ }$\left| b_{1}\right| \leq 1${\Huge \ merupakan estimasi yang cukup
baik, maka }$\left| b_{1}\right| =\left| \frac{-a_{2}}{2}\right| \leq 1$%
{\Huge \ juga merupakan estimasi yang cukup baik. Jadi diperoleh }$\left|
a_{2}\right| \leq 2.${\Huge \ Kesamaan terjadi jika dan hanya jika }$\ g$%
{\Huge \ memiliki bentuk }$g(z)=z-\frac{e^{i\theta }}{z}.${\Huge \ Menurut
perhitungan sederhana, fungsi }$g${\Huge \ diperoleh sebagai hasil sebuah
rotasi dari fungsi Koebe, yaitu }
\begin{equation*}
\ f\left( \xi \right) =\frac{\xi }{\left( 1-e^{i\theta }\xi \right) ^{2}}%
=e^{-i\theta }K\left( e^{i\theta }z\right) .
\end{equation*}
\end{proof}

{\huge \bigskip }

\bigskip 

{\huge Koebe menunjukkan dugaannya sendiri mengenai peta sembarang fungsi di 
}$S${\huge \ akan memuat disk beradius }$\frac{1}{4}.${\huge \ Berikut ini
bukti dari Koebe yang dikenal dengan nama ''Koebe One-Quarter Theorem''.}

\begin{theorem}
{\Huge 7. Daerah hasil setiap fungsi di }$S${\Huge \ memuat disk }$\left\{
w:\left| w\right| \leq \frac{1}{4}\right\} $
\end{theorem}

\begin{proof}
{\Huge Misalkan }$f\in S${\Huge \ dan }$f(z)\neq w\in C,${\Huge \ maka
berdasarkan sifat ke enam dari }$S,${\Huge \ diperoleh }
\begin{eqnarray*}
g(z) &=&\frac{wf(z)}{w-f(z)} \\
&=&z+\left( a_{2}+\frac{1}{w}\right) z^{2}+...\in S.
\end{eqnarray*}
{\Huge Berdasarkan koefisien Bieberbach, }$\left| a_{2}+\frac{1}{w}\right|
\leq 2${\Huge \ dan }$\left| a_{1}\right| \leq 2.${\Huge \ Akibatnya }$%
\left| \frac{1}{w}\right| \leq 4${\Huge \ atau }$\left| w\right| \geq \frac{1%
}{4}.$
\end{proof}

\subsection{\bigskip Growth and Distortion Theorems}

\begin{theorem}
\bigskip {\Huge 8. Untuk masing-masing }$f\in S,$%
\begin{equation*}
\left| \frac{zf^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}-\frac{2r^{2}}{1-r^{2}}%
\right| \leq \frac{4r}{1-r^{2}},\text{ \ }\left| z\right| =r<1.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
{\Huge Misalkan }$f\in S.${\Huge \ Gunakan sifat ke empat (buat disk
automorphism) }
\begin{eqnarray*}
F(z) &=&\frac{f\left( \frac{z+\alpha }{1+\overline{\alpha }z}\right)
-f(\alpha )}{\left( 1-\left| \alpha \right| ^{2}\right) f^{\prime }(\alpha )}%
\text{ } \\
&=&z+A_{2}\left( \alpha \right) z^{2}+...\text{, }\left| \alpha \right| <1%
\text{\ \ }
\end{eqnarray*}
{\Huge dengan }$A_{2}\left( \alpha \right) =\frac{1}{2}\left\{ \left(
1-\left| \alpha \right| ^{2}\right) \frac{f^{\prime \prime }\left( \alpha
\right) }{f^{\prime }\left( \alpha \right) }-2\alpha \right\} ,${\Huge \
maka }$F\in S.${\Huge \ Selanjutnya gunakan estimasi Bieberbach, }$\left|
A_{2}\left( \alpha \right) \right| \leq 2,${\Huge \ dan ganti }$\alpha $%
{\Huge \ oleh }$z.$
\end{proof}

\bigskip 

\begin{theorem}
{\Huge 9. (Distortion Theorem) Untuk masing-amasing }$f\in S,$%
\begin{equation*}
\frac{1-r}{\left( 1+r\right) ^{3}}\leq \left| f^{\prime }(z)\right| \leq 
\frac{1+r}{\left( 1-r\right) ^{3}},\left| z\right| =r<1.
\end{equation*}
{\Huge Untuk masing-masing }$z\in D,z\neq 0,${\Huge \ kesamaan terjadi jika
dan hanya jika }$f${\Huge \ merupakan hasil rotasi yang tepat dari fungsi
Koebe.}
\end{theorem}

\bigskip 

\begin{theorem}
{\Huge 10. (Growth Theorem) Untuk \ masing-masing }$f\in S,$%
\begin{equation*}
\frac{r}{\left( 1+r\right) ^{2}}\leq \left| f(z)\right| \leq \frac{r}{\left(
1-r\right) ^{2}},\left| z\right| =r<1.
\end{equation*}
{\Huge Untuk masing-masing }$z\in D,z\neq 0,${\Huge \ kesamaan terjadi jika
dan hanya jika }$f${\Huge \ merupakan hasil rotasi yang tepat dari fungsi
Koebe.}
\end{theorem}

\begin{proof}
{\Huge Misalkan }$f\in S${\Huge \ dan tetapkan }$z=re^{i\theta }${\Huge \
dengan }$0<r<1.${\Huge \ Dapat diperiksa bahwa }
\begin{equation*}
f(z)=\int_{0}^{r}f^{\prime }(\rho e^{i\theta })e^{i\theta }d\rho ,
\end{equation*}
{\Huge karena }$f(0)=0.${\Huge \ Dengan menggunakan teorema distorsi, }
\begin{eqnarray*}
\left| f(z)\right|  &\leq &\int_{0}^{r}\left| f^{\prime }(\rho e^{i\theta
})\right| d\rho  \\
&\leq &\int_{0}^{r}\frac{1+\rho }{\left( 1-\rho \right) ^{3}}d\rho  \\
&=&\frac{r}{\left( 1-r\right) ^{2}}.
\end{eqnarray*}
{\Huge Estimasi batas bawah lebih akurat. Estimasi ini dipenuhi secara
trivial jika }$\left| f(z)\right| \geq \frac{1}{4},${\Huge \ karena }$\frac{r%
}{\left( 1+r\right) ^{2}}<\frac{1}{4}${\Huge \ untuk }$0<r<1.${\Huge \ Untuk 
}$\left| f(z)\right| <\frac{1}{4},${\Huge \ Koebe one quarter theorem
mengakibatkan bahwa segmen radial dari }$0${\Huge \ ke }$f(z)${\Huge \
terletak di dalam daerah hasil }$f.${\Huge \ Misalkan }$C${\Huge \ prapeta
dari segmen tersebut. Maka }$C${\Huge \ merupakan lengkungan sederhana dari }%
$0${\Huge \ ke }$z${\Huge \ dan }
\begin{equation*}
f(z)=\int_{C}f^{\prime }(\xi )d\xi .
\end{equation*}
{\Huge Dengan menggunakan teorema distorsi, diperoleh}
\begin{equation*}
\left| f(z)\right| =\int_{C}\left| f^{\prime }(\xi )\right| \left| d\xi
\right| \geq \int_{0}^{r}\frac{1-\rho }{\left( 1+\rho \right) ^{3}}d\rho =%
\frac{r}{\left( 1+r\right) ^{2}}.
\end{equation*}
\end{proof}

\bigskip 

{\Huge Perhatikan kembali fungsi }$f\in S,${\Huge \ yang memiliki
representasi deret Taylor yang dinormalisasi oleh syarat }$f(0)=0${\Huge \
dan }$f^{\prime }(0)=1,$%
\begin{eqnarray*}
f(z) &=&\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},a_{0}=0,a_{1}=1,\left| z\right| =r<1
\\
&=&z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+...,\left| z\right| =r<1.
\end{eqnarray*}
{\Huge Masing-masing koefisien }$a_{n}=\frac{f^{\left( n\right) }(0)}{n!},$%
{\Huge \ dan }
\begin{equation*}
f^{\left( n\right) }(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\left| z\right| =r}\frac{f(z)%
}{z^{n+1}}dz.
\end{equation*}
{\Huge Karena itu, }
\begin{eqnarray*}
\left| a_{n}\right|  &\leq &\frac{1}{2\pi }\int_{\left| z\right| =r}\left| 
\frac{f(z)}{z^{n+1}}\right| dz \\
&\leq &\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\left| \frac{\frac{r}{\left(
1-r\right) ^{2}}}{r^{n+1}}\right| rd\theta  \\
&=&\frac{1}{r^{n-1}\left( 1-r\right) ^{2}}.
\end{eqnarray*}

\bigskip 

\bigskip 

\subsection{Kaitan dengan Fungsi $\mu $ Regular}

\bigskip 

{\Huge Hasil J.L.Schiff and W.J.Walker tahun 1990.}

\begin{theorem}
{\Huge 11. Jika }$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}${\Huge \ analitik pada 
}$\left| z\right| <a${\Huge \ maka fungsi }
\begin{equation*}
F_{f}(z)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\Psi _{n}\left( \mu r\right)
+\sum_{n=1}^{\infty }a_{-n}\overline{z^{n}}\Psi _{n}\left( \mu r\right) 
\end{equation*}
{\Huge dimana }$a_{-n-1}=\frac{\mu }{2(n+1)}\overline{a_{n}},n=0,1,2,...$%
{\Huge \ adalah }$\mu ${\Huge \ Regular pada }$\left| z\right| <a.$
\end{theorem}

{\Huge Selanjutnya, misalkan }$A(D)${\Huge \ ruang fungsi analitik pada disk
satuan }$D,${\Huge \ dan }$A_{\mu }(D)${\Huge \ ruang fungsi }$\mu ${\Huge \
regular pada disk satuan }$D.${\Huge \ Definisikan pemetaan }
\begin{eqnarray*}
T &:&A(D)\rightarrow A_{\mu }(D) \\
&:&f\text{ \ \ \ \ \ \ }\mapsto F_{f}
\end{eqnarray*}
{\Huge Dapat diperiksa bahwa }$T${\Huge \ merupakan isomorpisma ruang vektor
ke dalam }$A_{\mu }(D)${\Huge \ atas real. Catat, jika }$\mu =0${\Huge \
maka }$T${\Huge \ identitas. Selanjutnya perhatikan kelas fungsi }$S\subset
A(D),${\Huge \ dan notasikan }$S_{\mu }=T(S)\subset A_{\mu }.${\Huge \
(catatan, fungsi di dalam }$S_{\mu }${\Huge \ tidak perlu univalen)}

{\Huge \bigskip }

\bigskip 

\begin{theorem}
{\Huge 12}. {\Huge Jika }$f(z)==\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\Psi
_{n}\left( \mu r\right) +\sum_{n=1}^{\infty }a_{-n}\overline{z^{n}}\Psi
_{n}\left( \mu r\right) \in S_{\mu },${\Huge \ maka }
\begin{equation*}
\left| a_{n}-a_{-n}\right| \leq \frac{1}{r^{n-1}(1-r)^{2}}\left[ \frac{\mu r%
}{2n}+1\right] ,n=2,3,4,...
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
{\Huge Karena untuk sembarang }$f\in S,${\Huge \ }$\left| a_{n}\right| \leq 
\frac{1}{r^{n-1}\left( 1-r\right) ^{2}}${\Huge \ dan untuk fungsi di }$%
S_{\mu }${\Huge \ berlaku }$a_{-n}=\frac{\mu }{2n}\overline{a_{n-1}}${\Huge %
\ maka }
\begin{eqnarray*}
\left| a_{n}-a_{-n}\right|  &\leq &\left| a_{n}\right| +\left| a_{-n}\right| 
\\
&\leq &\frac{1}{r^{n-1}\left( 1-r\right) ^{2}}+\frac{\mu }{2n}\overline{%
\left| a_{n-1}\right| } \\
&\leq &\frac{1}{r^{n-1}\left( 1-r\right) ^{2}}+\frac{\mu }{2n}\frac{1}{%
r^{n-2}\left( 1-r\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{r^{n-1}\left( 1-r\right) ^{2}}\left[ 1+\frac{\mu r}{2n}\right] .
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\end{document}
